f=X⁴-2

ist irredizibel (Eisenstein !). Als reines Polynom hat es die Wurzeln a, ia, -a, -ia, wobei etwa a reell sei. Sei L der Zerfaellungskoerper und K=Q[a]; K ist reell und es ist [K:Q]=4.

Wegen ia/a=i ist L=Q[i,a] und wegen [Q[i]:Q]=2 und i nicht reell, ist [K:Q]=8.

K ist nicht normal ueber Q, also ist die Galoisgruppe nicht abelsch. Wegen [K:Q[a]]=[K:Q[i,a²]]=2 gibt es mindestens zwei Untergruppen der Ordnung zwei, also ist die Galoisgruppe isomorph zur Diedergruppe der Ordnung 8.