f=X⁵-3

ist irreduzibel (Eisenstein !). Als reines Polynom hat es die Wurzeln a, ea e²a, e³a, e⁴a fuer eine primitive 5-te Einheitswurzel e und etwa a reell. Sei L der Zerfaellungskoerper und K=Q[a]. Es ist [K:Q]=5 und K ist reell. Wegen ea/a=e ist e in L und somit L=Q[e,a]. Es ist Q[e] vom Grad 4 ueber Q, also teilerfremd zu 5 und damit [L:Q]=20.

Zu K gehoert eine nichtnormale Untergruppe, deren normaler Kern (Schnitt aller Konjugierten) gleich 1 ist. Dies zeigt, dass die Galoisgruppe isomorph zu Aff(5) ist, das semidirekte Produkt einer zyklischen Gruppe der Ordnung 5 mit ihrer Automorphismengruppe.