Mathematisches Institut

Operatorentheorie

Beschreibung der Lehrveranstaltung:
Der Gegenstand der Vorlesung ist die Theorie der beschränkten und unbeschränkten linearen Operatoren auf einem Hilbertraum und die Einführung in die Grundbegriffe der von Neumann-Algebren (W*-Algebren). Beides hat sich aus physikalischen Fragestellungen und deren mathematische Behandlung heraus entwickelt. Die physikalische Motivation und Hinweise auf Anwendungen in der modernen Physik findet man z.B. in der Einleitung von Bratteli-Robinson oder Blackadar.

In der Vorlesung werden die folgenden Themen behandelt:

• Geometrie des Hilbertraums und dessen fundamentale Eigenschaften
• Lineare Operatoren auf Hilberträumen und deren Klassifikation (selbstadjungiert, normal, ..)
• Elementare Spektraltheorie für Operatoren auf Hilberäumen und der Funktionalkalkül
• Spektralsätze für selbstadjungierte und normale Operatoren
• Polarzerlegung von Operatoren und der Verband der Hilbertraumprojektionen
• Algebren von Operatoren (C*-Algebren und von Neumann-Algebren)
• Der von Neumannsche Bikommutantensatz und elementare Eigenschaften der von Neumann-Algebren
• Abelsche von Neumann-Algebren
• Murray-von Neumann Klassifikationstheorie
• Beispiele
• Ausblick: Abstrakte C*- und W*-Algebren und deren konkrete Darstellung (Satz von Gelfand für kommutative C*-Algebra; GNS-Konstruktion für beliebige C*-Algebren); Grundbegriffe der Tomita-Takesaki-Theorie und deren Anwendung in der Klassifikationstheorie der von-Neumann-Algebren

Voraussetzungen:
Viele, für das Verständnis erforderlichen Voraussetzung werden in der Vorlesung erarbeitet. Daher sind Vorkenntnisse im Umfang z.B. einer einführenden Vorlesung Funktionalanalysis nicht unbedingt Voraussetzung für den erfolgreichen Besuch dieser Vorlesung.

Notwendig sind aber solide Kenntnisse der Linearen Algebra (etwa im Umfang von P. Halmos: Finite Dimensional Vector Spaces) und der Analysis (zu empfehlen ist W. Rudin: Principles of Analysis).

Literatur:

• G.K. Pedersen: Analysis Now! (Springer Verlag)
• J. von Neumann: Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik (Springer Verlag)
• B. Blackadar: Operator Algebras (Springer Verlag)
• S. Stratila; L. Zsido: Lectures on von Neumann Algebras (Abacus Press)
• O. Bratteli; D.W. Robinson: Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics, I/II (Springer Verlag)

geplante Anschlussveranstaltung:
Seminar: C*- und W*-Algebren

weitere Informationen:
http://www.fa.uni-tuebingen.de/lehre/ss-2009