Mathematisches Institut

Fraktale Geometrie

Beschreibung der Lehrveranstaltung:
Die schöne Bilder Fraktaler Mengen sind uns schon bekannt, doch Fraktale Geometrie ist viel mehr als nur Bilder. Die Methoden und Ergebnisse der Fraktalen Geometrie finden nun Anwendung in viele andere Gebiete der Mathematik und allgemeiner, der Naturwissenschaft. Fraktale Geometrie findet, zum Beispiel, Anwendung in PDE's, Differential Geometrie, Dynamische Systeme und Zahlen Theorie so wie auch Meteorologie, Teilchen Physik und die Ökonomie.

Die Vorlesung gibt einen mathematisch rigorosen Aufbau der Fraktalen Geometrie. Zuerst werden die fundamentalen Werkzeuge der Fraktale Geometrie vorgestellt. Das heißt, unter Anderem, verschiedene Maße und Konzepten von Dimension und Rektifizierbarkeit werden definiert, untersucht und verglischen. Verschiedene Mathoden Fraktale zu konstruieren werden auch gezeigt.

Im Hauptteil der Vorlesung werden wichtige Sätze der Fraktalen Geometrie bewiesen. Zum Beispiel, der Existenz von s-Teilmengen und Hutchinson's Satz über der Dimension selbst-ähnliche Mengen. Schließlich werden Verbindungen zu anderen mathematische Gebiete, beispielsweise Zahlen Theorie und dem Kakaya Problem, diskutiert.

Voraussetzungen:
Analysis I-IV oder äquivalent, insbesondere Maßtheoretische kenntnisse sind vorausgesetzt.

Literatur:
Falconer, K. The Geometry of Fractal Sets, Cambridge UP, 1985 Mattila, P. Geometry of sets and measures in Euclidean spaces, Cambridge. Studies in Advanced Mathematics, vol. 44, Cambridge University Press, 1995 Federer, H. Geometric measure theory, Springer-Verlag 1969