Mathematisches Institut

Algebraische Topologie

Beschreibung der Lehrveranstaltung:
Das Seminar setzt in seinem ersten Teil das im Wintersemester begonnene Studium der Charakteristischen Klassen mit einigen Anwendungen fort, z.B. Sätzen über die Nicht-Einbettbarkeit von Mannigfaltigkeiten in niedrig-dimensionale euklidische Räume.

Es folgt die Einführung der Pontrjagin-Klassen, der Chern- und Pontrjagin-Zahlen und den Vorbereitungen, die man braucht, um den Hirzebruchschen Signatursatz beweisen zu können.

Im zweiten Teil des Seminars wollen wir die Morse-theoretischen Grundlagen legen, um Milnors berühmten Satz über die Existenz exotischer differenzierbarer Strukturen auf der 7-Sphäre beweisen zu können.

Einen kleinen Ausflug machen wir schließlich noch in die Theorie der endlich-dimensionalen, reellen Divisionsalgebren und beweisen den Satz (von Milnor und Kervaire), dass es solche nur in den Dimensionen 1, 2, 4 und 8 (die reellen und komplexen Zahlen sowie die Quaternionen und Oktaven) gibt (wobei wir den Bottschen Periodizitätssatz als Black Box verwenden).

Interessierte Studierende können sich ab sofort in eine Liste bei Florian Schmidt eintragen. Die Vorbesprechung mit Ausgabe der Vortragsthemen findet dann statt am

Donnerstag, dem 11. 02. 2010 um 16.00 s.t.
im Seminarraum S 11 (nach dem Seminar "Charakteristische Klassen").

Voraussetzungen:

Die Teilnahme an dem Seminar "Charakteristische Klassen" im laufenden Wintersemester ist sicher eine gute Grundlage, aber nicht unbedingt erforderlich. Allerdings ist ein Grundwissen in Algebraischer Topologie, wie sie etwa in der Vorlesung "Algebraische Topologie" im Wintersemester gegeben wurde, oder in Differentialtopologie (etwa aus den Vorlesungen Differentialgeometrie) unverzichtbar.

Zeit: Di 14-16

Literatur:

1. R. Bott, J. Milnor: On the parallelizability of spheres, Bull. Amer. Math. Soc. 64, 1958
2. J. Milnor, J. Stasheff: Characteristic Classes, Princeton University Press, 1974
3. J. Milnor: On manifolds homeomorphic to the 7-sphere. Ann. of Math 64, 1956

geplante Anschlussveranstaltung:
im Wintersemester 2010/11 wahrscheinlich ein (elementareres) Seminar über Morse-Theorie (etwa nach Milnors Buch)

weitere Informationen:
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