Variationsrechnung I
| Dozenten: | PD Dr. Mohameden Ould Ahmedou |
zeitlicher Umfang: 4-stündig mit 2-stündigen Übungen
Art der Lehrveranstaltung: Kursvorlesung
Adressaten: Studierende der Mathematik und Physik ab dem 5. Semester
Prüfungsgebiet: Diplom: Reine Mathematik, Staatsexamen: Analysis, Angewandte Mathematik
Beschreibung der Lehrveranstaltung:
In der Variationsrechnung geht es um kritische Punkte von Funktionalen, zum Beispiel um Minima oder Sattelpunkte. Die sind wichtig, weil sich die Natur optimale Wege sucht; Beispiele sind: Elastische Körper, Hamiltonsche Mechanik, schwingende Membran, geometrische Optik, ... Das Feld der Variationsrechnung ist also sehr weit.
In der Vorlesung wollen wir Methoden zur Lösungen von partiellen Differentialgleichungen behandeln, die Variationsmethoden benutzen. Viele wichtige partielle Differentialgleichungen in physikalischen und technischen Anwendungen sind Variationsgleichungen eines Energie-Funktionals.
Solche Variationsmethoden wurden bereits um 1740 von den Mathematikern Euler und Lagrange eigeführt, und haben sehr fruchtbare Impulse für klassiche Mechanik geliefert. Diese Methoden wurden über viele Jahre hinweg auf immer neue Probleme ausgedehnt.
Wir wollen zuerst die wichtigsten Techniken dieses Gebietes behandeln, und anschlieend auf einige Variationsprinzipien spezialisieren, die in den letzten Jahren in der Mathematik von besonderem Interesse sind.
Wir wollen hierfür einige Teile des unten zitierten Buches von Struwe behandeln, unter anderem das Kompaktheits-Konzentrationsprinzip, Ekelands Variationsprinzip, periodische Lösungen von nichtlinearen Wellengleichungen, Mountain-Pass- und Störungstheorie.
Voraussetzungen:
Analysis I-IV, Lineare Algebra I-II.
Literatur:
- K.C. Chang [1993], Infinite-dimensional Morse theory and multiple solution problems. Progress in Nonlinear Differential Equations and their Applications, 6. Birkhuser Boston, Inc., Boston, MA.
- B. Daracogna [1989], Direct Methods in the Calculs of Variations, Springer Verlag.
- X. Li-Jost[1998], Calculus of Variations, Cambridge UP.
- P. Rabinowitz [1986] Minimax methods in critical point theory with applications to differential equations. CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 65, Washington.
- M. Struwe [2000], Variational methods. Applications to nonlinear partial differential equations and Hamiltonian systems. Third edition. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete.
Mohameden Ould Ahmedou, Dezember 2007