Im Anschluss an die Vorlesungen ,,Lineare partielle Differentialgleichungen'' (WS 14/15) und ,,Nicht-lineare partielle Differentialgleichungen'' (SS 15) werden
wir in dieser 2-stündigen Vorlesung Techniken studieren, mit welchen
Hölder-Stetigkeit schwacher Lösungen von Systemen partieller elliptischer Differentialgleichungen in Divergenz-Form in den 70er Jahren
bewiesen wurden. Im ersten Teil der Vorlesung werden wir einige klassische Beispiele betrachten, die zeigen, dass bereits eine
Regularitätstheorie für (2 Kreuz 2)-Systeme wesentlich bescheidener
und komplizierter als für elliptische Gleichungen sein muss,
und dass insbesondere die klassischen Regularitätssätze von
Nash-de Giorgi-Trudinger und Ladyzhenskaya-Uralceva nur für Gleichungen
gelten können. Zum Beweis einiger Regularitätssätze
werden wir gemittelte Greensfunktionen, verschiedene Anwendungen der
,,Lochfüll-Methode'' und die ,,umgekehrte Hölder-Ungleichung''
kennenlernen.
An Vorkenntnissen sind die Vorlesungen Analysis I-IV, Lineare Algebra I
und ,,Lineare partielle Differentialgleichungen'' erforderlich.
Tiefere Kenntnisse über Methoden der modernen Analysis,
wie sie beispielsweise in einer weiteren Vorlesung über
partielle Differentialgleichungen vermittelt werden, wären durchaus
hilfreich. Diese Vorlesung ist eine Wahlpflicht-Veranstaltung, die sich
besonders für Studenten im Masterstudiengang ab dem 7. Semester eignet.
Nach erfolgreicher Teilnahme der 2-stündigen Übungen und bestandener
Modul-Prüfung werden 7 ECTS-Punkte vergeben.
[Eva]
Evans, L.C.: Partial Differential Equations,
2nd edition, Providence, Rhode Island, American Mathematical Society, 2010.
[Gia]
Giaquinta, M.: Multiple integrals in the calculus of variations and nonlinear elliptic systems,
Annals of Mathematics Studies, Vol. 105. Princeton University Press,
Princeton NJ, 1983.
[GT]
Gilbarg, D., Trudinger, N.S.: Elliptic Partial Differential Equations of Second
Order,
Springer Verlag, 3. Auflage, Berlin - Heidelberg - New York - Tokyo,
1998.
[HW]
Hildebrandt, S., Widman, K.O.: Some Regularity results
for quasilinear elliptic systems of second order,
Math. Z. 142, 67-86, 1975.
[LU]
Ladyzenskaja, O.A., Uralceva, N.N.:
Linear and Quasilinear Elliptic Equations, Academic Press,
New York and London, 1968.
[Ru]
Rudin, W.T.: Functional Analysis,
McGraw-Hill, New York, 1973.
[T67]
Trudinger, N.S.: On Harnack type inequalities and their applications to
quasilinear elliptic equations,
Comm. Pure and Appl. Math. 20, pp. 721-747, 1967.
Dozent:
PD Dr. Ruben Jakob, C 5 A 32
Termine:
Vorlesung: Mi 12-14 (c.t.), Raum: S06,
Übung: Fr 14-16 (c.t.), Raum: S07.
Sprechstunden:
Fr, von etwa 14 bis 18 Uhr, in C 5 A 32
Ruben Jakob, Universität Tübingen.
(e-mail: jakob at mail.mathematik.uni-tuebingen.de)
