Proseminar: Analysis SS 13

1. [A] Alt, H.W.: Lineare Funktionalanalysis, 5. Auflage
   Springer Verlag, Berlin - Heidelberg - New York, 1999.
2. [Ap] Apostol, T.: Mathematical Analysis,
   Addison Wesely Publishing Company, 1971.
3. [Ed] Edwards, R.E.: Fourier Series, a modern introduction I,
   Holt Rinehart and Winston, New York, Chicago, 1967.
4. [Heu] Heuser, H.: Lehrbuch der Analysis, Teil 2,
   Mathematische Leitfäden, B.G. Teubner, Stuttgart, 1991.
5. [Hi-a] Hildebrandt, S.: Analysis I,
   Springer Verlag, 2002.
6. [Hi-b] Hildebrandt, S.: Analysis II,
   Springer Verlag, 2002.
7. [Ru66] Rudin, W.T.: Real and Complex Analysis,
   McGraw-Hill, New York, 1966.
8. [Ru73] Rudin, W.T.: Functional analysis,
   McGraw-Hill, New York, 1973.
9. [StWe] Stein, E.M., Weiss, G.: Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces,
   Princeton University Press, 1971.

Die einzelnen Vorträge:

Teil I: Fourierreihen

1. Einführungsvortrag für ,,Fourierreihen'': Einführung grundlegender Begriffe der Fourier-Analyse/Synthese, wie z.B. der ,,Fourier-Basis-Elemente'' exp(inx), der ,,Fourier-Koeffizienten'', ,,Fourier-Polynome'' T_N(f) und der ,,Fourier-Reihe'' T(f) einer vorgelegten 2pi-periodischen L^1-Funktion f. Systematische Einordnung des ,,Darstellungsproblems der Fourier-Synthese'' in einen allgemeinen funktionalanalytischen Rahmen, d.h. Einführung des ,,Hilbertraums'' L^2_(2 pi)(R,C) 2pi-periodischer, quadrat-integrabler Funktionen und Besprechung der Begriffe ,,Schauderbasis'', ,,Orthonormalsystem'' und ,,Orthonormalbasis'' von L^2_(2 pi)(R,C). Beweis der Orthonormalität des von den exp(inx) gebildeten Funktionensystems in L^2_(2 pi)(R,C). Einführung der von den Funktionen exp(inx) aufgespannten Unterräume U_N von L^2_(2 pi)(R,C) und Verleich des L^2-Abstandes einer Funktion f aus L^2_(2 pi)(R,C) zu T_N(f) und zu einem beliebigen trigonometrischen Polynom aus U_N. Insbesondere Beweis der Besselschen Ungleichung und des Riemannschen Lemmas für L^2-Funktionen.
   [Apostol: S. 306-310, 312; Hildebrandt I: S. 410-418, S. 423, S. 435-440; Alt: S. 281-291; Zusätzliche Hilfsliteratur aus Alt: S. 295-299; Heuser: 123-132]


2. Konvergenz-Sätze von Jordan und Dini: Beweis des Riemannschen Lemmas für L^1-Funktionen, Einführung und kurze Besprechung der wichtigsten Eigenschaften von Funktionen von beschränkter Variation, Beweise der Konvergenz-Sätze für ,,Dirichlet-Integrale'' von Jordan und Dini.
   [Apostol: S. 128-132, 313-316; Hildebrandt I: S. 331,332; Zusätzliche Hilfsliteratur aus Apostol: S. 252-264, S. 165; Hildebrandt I: S. 279-281]


3. Jordan's und Dini's hinreichende ,,Konvergenztests'': Einführung und Besprechung der Dirichlet-Kerne D_N, Darstellung der Fourier-Polynome T_N(f) als Faltung von f mit D_N, Riemanns Lokalisationssatz für L^1-Funktionen und schliesslich die Ableitung von Jordan's und Dini's hinreichenden Bedingungen für die punktweise Konvergenz der Fourierreihe T(f)(x) einer 2pi-periodischen L^1-Funktion gegen deren Mittelwert f^#(x) (falls existent) in x. Anwendung auf BV-Funktionen und Hölder-stetige Funktionen.
   [Apostol: S. 317-319, S. 195; Hildebrandt I: S. 428-430, S. 238,239; Heuser: S. 133-142]


4. Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit von Fourierreihen und die Parselvalsche Vollständigkeits-Relation: Gleichmässige Konvergenz der Fourierreihe einer stetig differenzierbaren Funktion f gegen f (mittels Hinzunahme von Resultaten aus Vortrag 3). Einführung und Besprechung des Begriffs eines Glättungskerns und Beweis der L^2-Konvergenz der Folge der Glättungen einer L^2-Funktion f gegen f in der L^2-Norm. Ableitung der L^2-Konvergenz der Fourierreihe T(f) einer 2pi-periodischen L^2-Funktion f gegen f und somit der ,,Parsevalschen Vollständigkeits-Relation'' und der ,,Vollständigkeit'' des in Vortrag 1 eingeführten Orthonormalsystems in
   L^2_(2 pi)(R,C) mittels Kombination mit Resultaten aus Vortrag 1.
   [Heuser: S. 138-144; Hildebrandt I: S. 424-426, S. 435-446; Alt: S. 107-111; Zusätzliche Hilfsliteratur aus Alt: S. 47-60, S. 281-291; Heuser: S. 170-172]


5. Fejer-Kerne und Fejer's Konvergenzsatz: Einführung und Besprechung der Fejer-Kerne F_N, Darstellung der Cesaro-Mittel sigma_N(f) als Faltung von f an diesen Kernen, Beweis der punktweisen Konvergenz der sigma_N(f)(x) gegen den Mittelwert f^#(x) (falls existent) einer L^1-Funktion f und der gleichmässigen Konvergenz der Cesaro-Mittel sigma_N(f) gegen eine stetige 2pi-periodische Funktion. Bemerkung zur erneuten Ableitbarkeit der L^2-Konvergenz der Fourierreihe T(f) einer zumindest stetigen, 2pi-periodischen Funktion f gegen f. Lösung des ,,Darstellungsproblems der Fourier-Synthese'' für stetige 2pi-periodische Funktionen f. Demonstration eines ersten konkreten Rechenbeispiels: Berechnung der Fourierkoeffizienten der Funktion f(x):=exp(ax), für ein a ungleich Null, und Verwendung der Parsevalschen Vollständigkeits-Relation zur Herleitung der Partialbruchzerlegung von pi coth(pi a).
   [Apostol: S. 319-321, S. 307-308, S. 195,196; Heuser: S. 154-159; Zusätzliche Hilfsliteratur aus Alt: S. 281-291; Hildebrandt I: S. 435-446]


6. Konkrete Beispiele für Fourier-Reihen, Teil I: Berechung der Fourier-Reihen der Funktionen f(x)=x, f(x)=Betrag(x), f(x)=x^2 und f(x)=sign(x), welche insbesondere berühmte Reihendarstellungen für pi/4, pi^2/8, pi^2/12 und pi^2/24 und ausserdem eine exakte Berechnung der Zeta-Funktion zeta(s) in s=2 mit dem Resultat pi^2/6 abwerfen.
   [Hildebrandt I: S. 426-428, Heuser: S. 149-151]


7. Konkrete Beispiele für Fourier-Reihen, Teil II: Berechnungen der Fourier-Reihen von f(x)=sin(rx) und f(x)=cos(rx), für nicht ganzzahlige Frequenzen r, die die Partialbruchzerlegung von
   pi cot(pi x) in die Reihe der Brüche 2x/(x^2-n^2), die berühmte Produktdarstellung von sin(pi x)/(pi x) und insbesondere die Wallisschen Produktentwicklungen von pi/2 und Wurzel(pi) ergeben.
   [Hildebrandt I: S. 434, S. 300; Heuser: S. 153]



Teil II: Fouriertransformation

8. Einführungsvortrag für die ,,Fouriertransformation'': Kurze Erinnerung an die wichtigsten Eigenschaften der Banach-Räume ,,L^p(R)'', Einführung der Fourier-Transformierten F(g) einer L^1-Funktion g und der gegenseitigen Faltung f*g von L^p-Funktionen, zusammen mit entsprechender L^p-Abschätzung für f*g. Berechnung der Fourier-Transformation von Faltungen f*g, also Herleitung von F(f*g)=F(f) F(g), und Beweis der ,,Symmetrie-Formel'' für die Fourier-Transformation F.
   [Stein: S. 1-4, S.8; Rudin-66: S. 213,214; Alt: S. 107,108; Zusätzliche Hilfsliteratur aus Rudin-66: S. 8-31, S. 193-206, S. 204-206]


9. Gleichmässige Stetigkeit und partielle Differenzierbarkeit Fourier-transformierter Funktionen: Beweis der gleichmässigen Stetigkeit von F(f) für L^1-Funktionen f. Kriterium für die Differenzierbarkeit von F(g) und explizite Berechnung der Ableitung von F(g), sowie Berechnung der Fourier-Transformation der Ableitung einer C^1_c(R)-Funktion. Demonstration eines ersten konkreten Beispiels: Berechnung der Fourier-Transformierten der charakteristischen Funktion eines reellen Intervalls [a,b] und Deutung des Resultats im Hinblick auf die Beugung von Photonen- bzw. Elektronen-Strömen an geeigneten Spalten (Welle-Teilchen-Dualismus).
   [Stein: S. 4,5; Rudin-66: S. 213-215; Hildebrandt II: S. 275, S. 277 und S. 284; Zusätzliche Hilfsliteratur aus Rudin-66: S. 17-31]


10. Konkrete Beispiele für Fouriertransformationen: Weitere konkrete Beispiele für Fouriertransformationen anhand der Berechnung der Fourier-Transformierten der Gauss'schen und Abelschen Glockenfunktionen, also von g(x)=exp(-a Betrag(x)^2) und g(x)=exp(-a Betrag(x)), a>0, sowie Herleitung zweier Integraldarstellungen für exp(-a t), mit a,t>0, unter Verwendung der ,,Umkehr-Formel: F(g)(-x)=F^{-1}(g)(x)'' aus dem letzten Vortrag (13), und Fourier-Transformation einer exponentiell abklingenden Schwingung.
    [Hildebrandt II: S. 269, S. 276-278, S. 284; Stein: S. 6,7]


11. Satz von Plancherel, Teil I: Faltung einer L^p-Funktion g an einer ,,Dirac-Familie'', welche aus den in Vortrag 10 berechneten Fourier-Transformationen von Gauss'schen oder Abelschen Glockenfunktionen gewonnen wird, Beweis der Übereinstimmung dieser Faltungsfamilie mit sogenannten ,,Gauss'schen bzw. Abelschen Mitteln'' von F(g) und Beweis derer L^p-Konvergenz gegen g. Herleitung der Involutions-Formel ,,F(F(g))(x)=g(-x)'' für L^1-Funktionen g unter der zusätzlichen Voraussetzung: ,,F(g) aus L^1(R)''.
    [Stein: S. 7-11, Rudin-66: S. 215-221; Zusätzliche Hilfsliteratur aus Alt: S. 47-60, S. 107-111; Rudin-66: S. 17-31, S. 74, S. 193-206]


12. Satz von Plancherel, Teil II: Beweis der punktweisen Konvergenz der Faltungsfamilie aus Vortrag 11 gegen g(x) in jedem Stetigkeitspunkt x von g, falls g eine auf R beschränkte L^1-Funktion ist. Ableitung der Involutions-Formel ,,F(F(g))(x)=g(-x)'' für eine beschränkte L^1-Funktion g, die in x=0 stetig und deren Fouriertransformierte F(g) nicht-negativ ist. Schliesslich der Beweis der Isometrie der Fouriertransformation vom Durchschnitt von L^1(R) mit L^2(R) nach L^2(R) bezüglich des L^2-Skalarproduktes, d.h. Herleitung der ersten Version des ,,Satzes von Plancherel''.
    [Stein: S. 11-16; Rudin-66: S. 218-223; Zusätzliche Hilfsliteratur aus Alt: S. 47-60, S. 107-111; Rudin-66: S. 24-31, S. 74, S. 193-206, S. 213-217]


13. Satz von Plancherel, Teil III: Erinnerung an die Approximierbarkeit von L^2-Funktionen durch Treppen-Funktionen und durch stetige Funktionen mit kompaktem Träger bzgl. der L^2-Norm, welche die Dichtheit des Durchschnitts von L^1(R) mit L^2(R) in L^2(R) impliziert, und Beweis der Vollständigkeit von L^2(R). Besprechung der eindeutigen, stetigen Fortsetzbarkeit beschränkter, linearer Operatoren von dichten Teilmengen eines Banach-Raumes auf den gesamten Banach-Raum. Schliesslich die Vervollständigung des Beweises des ,,Plancherel-Theorems'' in seiner allgemeinen Fassung, also der Aussage, dass F einen isometrischen Automorphismus von L^2(R) (auf sich selbst) liefert und ,,F(g)(-x)=F^{-1}(g)(x)'' erfüllt.
    [Stein: S. 16-18, Rudin-66: S. 223,224; Zusätzliche Hilfsliteratur aus Alt: S. 47-62, S. 107-111, S. 137,138, S. 159,160, S. 220,221, S. 295-298; Rudin-66: S. 28-31, S. 213-222]