Fachbereich Mathematik
  http://www.mnf.uni-tuebingen.de/fachbereiche/mathematik.html

Proseminar Analysis: Fourier-Reihen und Fourier-Transformation, SS 12


Teil I) Im ersten Teil des Proseminars werden wir uns mit dem Konvergenzverhalten von ,,Fourier-Polynomen'' T_n(f) gegen eine Fourier-Reihe T(f) 2pi-periodischer Funktionen f (von R nach C) auseinandersetzen. Folgende Vortragsthemen stehen zur Verfügung:
1.) Einführung grundlegender Begriffe, wie z.B. ,,Fourier-Koeffizienten'', ,,Fourier-Polynome'' T_n(f) und ,,Fourier-Reihe'' T(f) einer 2pi-periodischen L^1-Funktion f. Motivation der grundlegenden analytischen Fragestellungen zu diesen Begriffen. Beweis der eindeutigen Fourier-Darstellbarkeit des Limes f einer gleichmässig konvergenten Fourier-Reihe.
2.) Einführung 2pi-periodischer, ,,stückweise glatter'' Funktionen, ihrer Mittelung f# um ihre Sprungstellen, Beweis der Besselschen Ungleichung, des ,,Riemannschen Lemmas'' und des Satzes über die punktweise Konvergenz der ,,Fourier-Reihe'' T(f) einer 2pi-periodischen stückweise glatten Funktion gegen deren Mittelung f#.
3.) Beweis des Satzes über die gleichmässige Konvergenz der ,,Fourier-Reihe'' T(f) gegen f bei zusätzlicher Forderung der Stetigkeit von f und des Riemannschen Lokalisationssatzes.
4.) Konkrete Beispiele für Fourier-Reihen simpler Funktionen, wie f(x)=x, f(x)=Betrag(x), f(x)=x^2, welche insbesondere Reihendarstellungen für pi/4 und pi^2/8 und ausserdem eine Berechnung der Zeta-Funktion zeta(s) in s=2 mit dem Resultat pi^2/6 abwerfen.
5.) Weitere Beispiele für Fourier-Reihen komplizierterer Funktionen, welche u.a. die berühmte Produktdarstellung von sin(pi x)/ (pi x) und die Wallissche Produktentwicklung von pi/2 ergeben.
6.) Einführung und kurze Besprechung der wichtigsten Eigenschaften des Hilbert-Raumes ,,L^2_(2 pi)(R,C)'' 2pi-periodischer L^2-Funktionen (also 2pi-periodischer, quadrat-integrabler Funktionen) sowie der durch die ,,Fourier-Basis-Elemente'' exp(inx) aufgespannten Unterräume von L^2_(2 pi)(R,C). Interpretation der Fourier-Polynome T_n(f) von L^2-Funktionen f einerseits als Projektionen von f auf diese Unterräume, andererseits als Faltungen von f an Dirichlet-Kernen D_n. Vergleich der Dirichlet-Kerne D_n mit Fejer-Kernen F_n und Beweis der L^2-Konvergenz der T_n(f) gegen f mit Hilfe der Faltungen von f an diesen Kernen, d.h. der Parsevalschen Gleichung.

Teil II) Im zweiten Teil des Proseminars werden wir die Fourier-Transformation Lebesgue-integrierbarer Funktionen g auf einem R^n untersuchen. Es stehen die folgenden Vortragsthemen zur Verfügung:
7.) Einführung und kurze Besprechung der wichtigsten Eigenschaften der Banach-Räume ,,L^p(R^n)'', der gegenseitigen Faltung von L^p-Funktionen und der Fourier-Transformierten F(g) einer L^1-Funktion g. Konkrete Beispiele anhand der Berechnung der Fourier-Transformierten der Gauss'schen und Abelschen Glockenfunktionen, also von exp(-alpha Betrag(x)^2) und exp(-alpha Betrag(x)). Berechnung der Fourier-Transformation von Faltungen f*g, also Herleitung von F(f*g)=F(f) F(g) und Beweis der ,,Symmetrie-Formel'' für die Fourier-Transformation F.
8.) Kriterium für die partielle Differenzierbarkeit von F(g) und Berechnung der partiellen Ableitungen von F(g), sowie Berechnung der Fourier-Transformation einer partiellen Ableitung einer C^1_c(R^n)-Funktion. Berechnung der Fourier-Transformierten der charakteristischen Funktion von reellen Intervallen [a,b] und Deutung des Resultats im Hinblick auf die Beugung von Photonen- bzw. Elektronen-Strömen an Spalten und auf die Interpretation von Elementar-Teilchen als ,,Wahrscheinlichkeits-Verteilungen''.
9.) Herleitung der Formel ,,F(F(g))(x)=g(-x)'' unter verschiedenen Voraussetzungen an g und F(g), sowie Herleitung ihrer Isometrie vom Durchschnitt von L^1(R^n) mit L^2(R^n) nach L^2(R^n) bezüglich des L^2-Skalarproduktes, d.h. Herleitung der ersten Version des ,,Satzes von Plancherel''.
10.) Besprechung der eindeutigen Fortsetzbarkeit beschränkter, linearer Operatoren von dichten Teilmengen von Banach-Räumen auf den gesamten Raum, und schliesslich die Vervollständigung des Beweises des ,,Plancherel-Theorems'' in seiner allgemeinsten Fassung, also der Aussage, dass F einen isometrischen Automorphismus von L^2(R^n) (auf sich selbst) liefert.

Falls dieser Stoff nicht ausreichen sollte, so könnten zum Abschluss noch einige Anwendungen der Resultate von Teil (II) aus der theoretischen Physik, wie beispielsweise zur Modellierung von Wellenfronten-Fortpflanzung und -Überlagerung aus der Quantenmechanik oder Elektrodynamik diskutiert werden.

Die Vorlesung richtet sich an Studenten aus dem 2., 4. und 6. Fachsemester. An Vorkenntnissen sind nur die Vorlesungen Analysis I und Lineare Algebra I erforderlich. Zusätzliche Kenntnisse aus Analysis III und Lineare Algebra II wären jedoch sehr nützlich ! Die umfangreicheren der angebotenen Vorträge können auch von zwei Studenten in Kooperation behandelt und vorgetragen werden. Nach erfolgreicher Teilnahme werden 4 ECTS-Punkte vergeben.

  • Alt, H. W.: Lineare Funktionalanalysis. Springer Verlag, Berlin, 2006.
  • Edwards, R. E.: Fourier Series, a modern introduction I. Holt Rinehart and Winston, New York, Chicago, 1967.
  • Hildebrandt, S.: Analysis I. Springer Verlag, Berlin, 2003.
  • Rudin, W.: Reelle und komplexe Analysis. Oldenburg-Verlag, München, 2009.
  • Rudin, W.: Functional Analysis. McGraw-Hill, Boston, 2007.
  • Stein, E. M., Shakarchi R.: Fourier Analysis: an introduction. Princeton lectures in Analysis, 2003.
  • Stein, E. M., Weiss G.: Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces. Princeton University Press, 1971.


  • Vortrag 1: 26.04. (Ramona Dusny)

  • Vortrag 2: 03.05. (Janine Hartmann)

  • Vortrag 3: 24.05. (Ruben Jakob)

  • Vortrag 4: 31.05. (Ruben Jakob)

  • Vortrag 5: 14.06. (Marissa Lorenz)

  • Vortrag 6: 21.06. (Lukas Epple)

  • Vortrag 7: 28.06. (Anne Sprink)

  • Vortrag 8: 05.07. (Jan Becker)

  • Vortrag 9 (1.Teil): 12.07. (Michael Kaplin)

  • Vortrag 9 (2.Teil): 19.07. (Michael Kaplin)


    • Ruben Jakob, Universität Tübingen. (e-mail: jakob at mail.mathematik.uni-tuebingen.de)
    Dozent: PD Dr. Ruben Jakob, C 5 A 32, Sprechstunden: montags von 11 Uhr 30 bis 14 Uhr und freitags von 14 Uhr 30 bis 17 Uhr (Am Freitag, dem 25. Mai, findet meine Sprechstunde bereits von 12 Uhr 15 bis 14 Uhr 50 statt !)
    Termin: Do, 14-16 Uhr (c.t.) im Raum S06 (5. Stock) im C-Bau.
    Beginn: 19. April 2012