Fachbereich Mathematik
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PD Dr.rer.nat.habil. Ruben Jakob,
Professor Dr.rer.nat.habil. Reiner Schätzle

Proseminar Analysis: Fourier-Reihen und Fourier-Transformation, SS 12


Teil I) Im ersten Teil des Proseminars werden wir hinreichende Bedingungen für verschiedene Arten der Konvergenz von ,,Fourier-Polynomen'' T_N(f) 2pi-periodischer Funktionen f (von R nach C) herleiten und konkrete Beispiele konvergenter Fourierreihen durchrechnen. Die folgenden Vortragsthemen stehen zur Verfügung:

1.) Einführungsvortrag für Fourierreihen: Einführung grundlegender Begriffe, wie z.B. der ,,Fourier-Basis-Elemente'' exp(inx), sowie der ,,Fourier-Koeffizienten'', ,,Fourier-Polynome'' T_n(f) und der ,,Fourier-Reihe'' T(f) einer vorgelegten 2pi-periodischen L^1-Funktion f. Motivation der grundlegenden analytischen Fragestellungen zu diesen Begriffen. Beweis der eindeutigen Fourier-Darstellbarkeit des Limes f einer gleichmässig konvergenten Fourier-Reihe.
2.) Satz zur punktweisen Konvergenz einer Fourierreihe: Beweis der Besselschen Ungleichung und des Riemannschen Lemmas für L^2-Funktionen, Einführung 2pi-periodischer, ,,stückweiser C^1-Funktionen'', ihrer Mittelung f^# um ihre Sprungstellen, Beweis des Satzes über die punktweise Konvergenz der ,,Fourier-Reihe'' T(f) einer 2pi-periodischen, stückweisen C^1-Funktion gegen deren Mittelung f^#.
3.) Satz zur gleichmässigen Konvergenz einer Fourierreihe: Beweis des Satzes über die gleichmässige Konvergenz der ,,Fourier-Reihe'' T(f) gegen f für stetige, stückweise C^1-Funktionen f.
4.) Konkrete Beispiele für Fourier-Reihen (Teil I): Konkrete Berechungen von Fourier-Reihen simpler Funktionen, wie f(x)=x, f(x)=Betrag(x), f(x)=x^2, welche insbesondere berühmte Reihendarstellungen für pi/4, pi^2/8, pi^2/12 und pi^2/24 und ausserdem eine exakte Berechnung der Zeta-Funktion zeta(s) in s=2 mit dem Resultat pi^2/6 abwerfen.
5.) Konkrete Beispiele für Fourier-Reihen (Teil II): Berechnungen der Fourier-Reihen von f(x)=sin(rx) und f(x)=cos(rx), für nicht ganzzahlige Frequenzen r, die eine Reihenentwicklung von cot(pi x), die berühmte Produktdarstellung von sin(pi x)/(pi x) und insbesondere die Wallissche Produktentwicklung von pi/2 ergeben.
6.) L^2-Konvergenz der Fourierreihe einer L^2-Funktion f gegen f: Kurze Erinnerung an die wichtigsten Eigenschaften der ,,Fourier-Basis-Elemente'' exp(inx) und Besprechung der durch diese aufgespannten Unterräume des ,,Hilbertraumes'' L^2_(2 pi)(R,C). Interpretation der Fourier-Polynome T_n(f) von L^2-Funktionen f einerseits als Projektionen von f auf diese Unterräume, andererseits als Faltungen von f an Dirichlet-Kernen D_n. Vergleich der Dirichlet-Kerne D_n mit Fejer-Kernen F_n und Beweis der L^2-Konvergenz der T_n(f) gegen f mit Hilfe der Faltungen von f an diesen Kernen, insbesondere Beweis der Parsevalschen Gleichung.

Teil II) Im zweiten Teil des Proseminars werden wir die Fourier-Transformation F Lebesgue-integrierbarer Funktionen g auf einem R^n einführen, konkrete Funktionen Fourier-transformieren und schliesslich den ,,Satz von Plancherel'' beweisen. Es stehen die folgenden Vortragsthemen zur Verfügung:

7.) Einführungsvortrag für die ,,Fouriertransformation'': Kurze Erinnerung an die wichtigsten Eigenschaften der Banach-Räume ,,L^p(R^n)'', Einführung der gegenseitigen Faltung von L^p-Funktionen und der Fourier-Transformierten F(g) einer L^1-Funktion g. Berechnung der Fourier-Transformation von Faltungen f*g, also Herleitung von F(f*g)=F(f) F(g), und Beweis der ,,Symmetrie-Formel'' für die Fourier-Transformation F. Konkrete Berechnung der Fourier-Transformierten der Gauss'schen und Abelschen Glockenfunktionen, also von g(x)=exp(-alpha Betrag(x)^2) und g(x)=exp(-alpha Betrag(x)).
8.) Gleichmässige Stetigkeit und partielle Differenzierbarkeit Fourier-transformierter Funktionen: Kriterium für die partielle Differenzierbarkeit von F(g) und Berechnung der partiellen Ableitungen von F(g), sowie Berechnung der Fourier-Transformation einer partiellen Ableitung einer C^1_c(R^n)-Funktion. Beweis der gleichmässigen Stetigkeit von F(f) für L^1-Funktionen f. Berechnung der Fourier-Transformierten der charakteristischen Funktion von reellen Intervallen [a,b] und Deutung des Resultats im Hinblick auf die Beugung von Photonen- bzw. Elektronen-Strömen an Spalten und auf die Interpretation von Elementar-Teilchen als ,,Wahrscheinlichkeits-Verteilungen''.
9.) Satz von Plancherel, Teil I: Faltung einer L^1-Funktion g an einer ,,Dirac-Familie'', welche aus den in Vortrag 7 berechneten Fourier-Transformationen von Gauss'schen oder Abelschen Glockenfunktionen gewonnen wird. Beweis der Übereinstimmung dieser Faltungsfamilie mit sogenannten ,,Gauss'schen bzw. Abelschen Mitteln'' von F(g) und Beweis derer L^1-Konvergenz gegen g. Herleitung der Involutions-Formel ,,F(F(g))(x)=g(-x)'' unter der zusätzlichen Voraussetzung: ,,F(g) aus L^1(R^n)''. Beweis der punktweisen Konvergenz dieser Faltungsfamilie gegen g(x) in jedem Stetigkeitspunkt x von g, falls g eine auf R^n beschränkte L^1-Funktion ist. Ableitung der Involutions-Formel ,,F(F(g))(x)=g(-x)'' für eine L^1-Funktion g, deren Fouriertransformierte F(g) nicht-negativ ist und die stetig in x=0 ist. Schliesslich der Beweis der Isometrie der Fouriertransformation F vom Durchschnitt von L^1(R^n) mit L^2(R^n) nach L^2(R^n) bezüglich des L^2-Skalarproduktes, d.h. Herleitung der ersten Version des ,,Satzes von Plancherel''.
10.) Satz von Plancherel, Teil II: Besprechung der eindeutigen Fortsetzbarkeit beschränkter, linearer Operatoren von dichten Teilmengen von Banach-Räumen auf den gesamten Raum, und schliesslich die Vervollständigung des Beweises des ,,Plancherel-Theorems'' in seiner allgemeinsten Fassung, also der Aussage, dass F einen isometrischen Automorphismus von L^2(R^n) (auf sich selbst) liefert und ,,F(g)(-x)=F^{-1}(g)(x)'' erfüllt.

Die Vorlesung richtet sich an Studenten aus dem 2., 3. und 4. Fachsemester. An Vorkenntnissen sind nur die Vorlesungen Analysis I und Lineare Algebra I erforderlich. Nach erfolgreicher Teilnahme werden 4 ECTS-Punkte vergeben.

  • Alt, H. W.: Lineare Funktionalanalysis. Springer Verlag, Berlin, 2006.
  • Edwards, R. E.: Fourier Series, a modern introduction I. Holt Rinehart and Winston, New York, Chicago, 1967.
  • Hildebrandt, S.: Analysis I. Springer Verlag, Berlin, 2003.
  • Rudin, W.: Reelle und komplexe Analysis. Oldenburg-Verlag, München, 2009.
  • Rudin, W.: Functional Analysis. McGraw-Hill, Boston, 2007.
  • Stein, E. M., Shakarchi R.: Fourier Analysis: an introduction. Princeton lectures in Analysis, 2003.
  • Stein, E. M., Weiss G.: Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces. Princeton University Press, 1971.


  • Vortrag 0: 19.04. (Grundlagen der Lebesgueschen Mass- und Integrationstheorie): Ruben Jakob

  • Vortrag 1: 25.04. (Einführungsvortrag für Fourierreihen): Ramona Dusny

  • Vortrag 2: 03.05. (Satz zur punktweisen Konvergenz einer Fourierreihe): Janine Hartmann

  • Vortrag 3: 24.05. (Satz zur gleichmässigen Konvergenz einer Fourierreihe): Ruben Jakob

  • Vortrag 4: 31.05. (Konkrete Beispiele für Fourier-Reihen (I)): Ruben Jakob

  • Vortrag 5: 21.06. (Konkrete Beispiele für Fourier-Reihen (II)): Marissa Lorenz

  • Vortrag 6: 28.06. (L^2-Konvergenz der Fourierreihe einer L^2-Funktion f gegen f): Lukas Epple

  • Vortrag 7: 05.07. (Einführungsvortrag für die Fouriertransformation): Anne Sprink

  • Vortrag 8: 12.07. (Gleichmässige Stetigkeit und partielle Differenzierbarkeit Fourier-transformierter Funktionen): Jan Becker

  • Vortrag 9: 19.07. (Satz von Plancherel, Teil I): Michael Kaplin

  • Vortrag 10: 26.07. (Satz von Plancherel, Teil II): Ruben Jakob


    • Ruben Jakob, Universität Tübingen. (e-mail: jakob at mail.mathematik.uni-tuebingen.de)
    Dozent: PD Dr. Ruben Jakob, C 5 A 32, Sprechstunden: in den Semesterferien: montags von 11 Uhr 30 bis 14 Uhr und freitags von 14 Uhr 30 bis 17 Uhr
    Vorbesprechung: Dienstag, 07.02.2012, 14 Uhr (c.t.), Raum S08 (5. Stock) im C-Bau.
    Termin: Do, 14-16 Uhr (c.t.) im Raum S06 (5. Stock) im C-Bau.
    Beginn: 19. April 2012