Mathematisches Institut
 

Vorlesung: Geometrische Maßtheorie II, WS 03/04


In der Fortsetzung der Vorlesung vom Sommersemester stehen Ströme im Vordergrund. Dies sind Verallgemeinerungen von glatten, orientierten Mannigfaltigkeiten. Im besonderen betrachten wir integrale Ströme, die im wesentlichen integrale Varifaltigkeiten mit Orientierung sind. Nach der Definition von Strömen, dem zugehörigen Randoperator und dem slicing von Strömen, werden die grundlegenden Sätze wie Deformationssatz, Randrektifizierbarkeitssatz und der Kompaktheitssatz für integrale Ströme bewiesen.

Im zweiten Teil werden flächeninhaltsminimierende Ströme betrachtet, die als verallgemeinerte Lösungen des Plateau-Problems oder verwandter Probleme angesehen werden können. Ziel ist es, den Regularitätssatz in Kodimension 1 zu beweisen, der von 1961-1970 in mehreren Arbeiten von deGiorgi, Fleming, Simons und schließlich von Federer zum Abschluß gebracht wurde. Dieser besagt, daß die Singularitätenmenge von flächinhaltsminimierenden Hyperflächen von Kodimension 7 ist. Wesentlicher Bestandteil im Beweis ist das Dimensionsreduktionsargument von Federer, das ausführlich dargestellt wird. In höherer Kodimension sind unsere Resultate schwächer und ergeben sich im wesentlichen durch Anwenden des Regularitätssatzes von Allard für Varifaltigkeiten bei Einheitsdichte.

Die Vorlesung richtet sich an Studenten im 7.Semester oder höher. An Vorkenntnissen sind die Vorlesungen Analysis I - IV und Geometrische Maßtheorie I erforderlich. Kenntnisse in der Differentialgeometrie sind hilfreich.

  1. Federer, H.: Geometric Measure Theory,
    Springer Verlag, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 153, Berlin - Heidelberg - New York, 1969.
  2. Federer, H.: The singular sets of area minimizing rectifiable currents with codimension one and of area minimizing flat chains modulo two with arbitrary codimension,
    Bulletin of the American Mathematical Society, 76, (1970), pp. 767--771.
  3. Simon, L.: Lectures on Geometric Measure Theory,
    Proceedings of the Centre for Mathematical Analysis Australian National University, Volume 3, 1983.
  4. White, B.: A new proof of the compactness theorem for integral currents,
    Comment. Math. Helvetici, 64, (1989), pp. 207--220.

Dozenten: Professor Dr. Reiner Schätzle, Beringstraße 6, Raum 3
Dr. Mohameden Ould Ahmedou, Beringstraße 4, Raum 26
Vorlesung: Di 10-12 (c.t.), Seminarraum A
Do 10-12 (c.t.), Seminarraum A
Übungen: Mi 14 - 16 (c.t.), Seminarraum A
Beginn: 14.Oktober

Reiner Schätzle, Universität Bonn. (e-mail: schaetz at math.uni-bonn.de)