Partielle Differentialgleichungen nehmen eine zentrale
Stellung in der Analysis ein.
Sie treten zum einen in der Physik und technischen Anwendungen auf,
z.B. die Maxwellschen Gleichungen und die Wärmeleitungsgleichung,
aber auch in der Differentialgeometrie, so ist z.B. die mittlere
Krümmung ein quasi-linearer, elliptischer Operator zweiter Ordnung
bzw. die Gaußkrümmung ein voll nicht-linearer,
elliptischer Operator.
Existenztheorie von Lösungen und qualitative Untersuchungen von
Lösungen sind von grosser Bedeutung bei physikalischen und technischen
Anwendungen.
Andererseits ergeben sich mit der Theorie partieller
Differentialgleichungen analytische Abschätzungen,
die zum Beweis rein geometrischer Resultate benötigt werden.
Die Vorlesung behandelt in erster Linie elliptische Gleichungen
zweiter Ordnung.
Zuerst sollen elementare Eigenschaften wie Mittelwertformel,
Maximumprinzip und Darstellung der Lösungen durch die Greensche
Funktion erörtert werden.
Danach werden die benötigten Hilfsmittel
aus der Funktionalanlysis erarbeitet.
Insbesondere wird eine Einführung in Sobolevräume gegeben,
um eine Vielfalt an Lösungsräumen zu erhalten.
Hauptteil bilden die verschiedenen Apriori-Abschätzungen,
wie L2-Theorie, Schauder-Abschätzungen
und Calderon-Zygmund-Abschätzungen,
mit denen die linearen Gleichungen gelöst werden.
Schließlich werden die wichtigen Resultate von DeGiorgi, Nash
und Moser bewiesen,
wie Hölderregularität, schwache Harnack-Ungleichung
und lokale Maximum-Abschätzungen für Gleichungen in Divergenzform,
die die quasilineare Theorie geöffnet haben.
Die Vorlesung richtet sich an Studenten im 5.Semester.
An Vorkenntnissen sind die Vorlesungen Analysis I - IV
und Lineare Algebra I erforderlich.
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