Seminar: Geometrie mittels Hilberts Axiomatik, WS 15/16

1. [Art] Artin, M.: Algebra,
   Birkhäuser Verlag, Basel, 1993.
2. [Bo] Bosch, S.: Algebra,
   6. Auflage, Springer Verlag, Berlin - Heidelberg - New York, 2006.
3. [Green] Greenberg, Marvin Jay: Euclidean and Non-Euclidean Geometries,
   Freeman and Company, San Francisco, 1972.
4. [Hart] Hartshorne, Robin: Geometry: Euclid and Beyond,
   Springer Verlag, Berlin - Heidelberg - New York, 2000.
5. [Oster] Ostermann, A., Wanner, G.: Geometry by its History,
   Undergraduate Texts in Mathematics, Springer Verlag, Berlin - Heidelberg - New York, 2010.
6. Kapitel 2 und 3 aus Hartshorne's Geometrie-Buch (zum Ausdrucken)
7. Kapitel 2 aus Ostermann's Geometrie-Buch (zum Ausdrucken)
8. Abschnitte 3 und 4 aus Greenberg's Geometrie-Buch (zum Ausdrucken, nur zusätzliche Informations-Lektüre)

1. [Saskia Willemsen] Hilberts Axiome I1-I3 und zwei Varianten des Parallelen-Axioms (P), (P'), Verifikation dieser Axiome am konkreten Modell der kartesischen Ebene, kurze Diskussion der Axiome (P) und (P').
   [Hartshorne: Abschnitt 6 und Aufgaben 6.2, 6.5, 6.6]


2. [Edgar Kloster] Hilberts Axiome B1-B4 (Teil I), Ebenen- und Geraden-Separation, Definition eines Winkels und dessen Inneren.
   [Hartshorne: Abschnitt 7 und Aufgaben 7.1 und 7.2]


3. [Alexander Brunner] Hilberts Axiome B1-B4 (Teil II), Verifikation der Axiome B1-B4 am Modell der kartesischen Ebene und Herleitung einiger fundamentaler Aussagen der Euklidischen Geometrie über Geraden und Dreiecke aus den Axiomen I1-I3 und B1-B4.
   [Hartshorne: Abschnitt 7 und Aufgaben 7.3-7.10]


4. [Stefanie Schroeter] Hilberts Axiome C1-C3 (Teil I), Einführung des Begriffs der Länge eines Liniensegments, Addition und Subtraktion von Längen, Ordnung von Längen, Verifikation der Axiome C1-C3 am Modell der kartesischen Ebene.
   [Hartshorne: Abschnitt 8 und Aufgabe 8.1]


5. [Kerstin Peppel] Hilberts Axiome C1-C3 (Teil II), Fortsetzung der Anwendungen der bisherigen Axiome I1-C3, Diskussion dieser Axiome an nicht-kartesischen (insbes. nicht-euklidischen) Modellen, Diskussion der Gültigkeit der Dreiecks-Ungleichung (Euklids Gesetz (1.20)) anhand verschiedener Metriken auf der reellen kartesischen Ebene.
   [Hartshorne: Abschnitt 8, Aufgaben 8.2-8.7, 8.10 und 8.11]


6. [Jessica Buchta] Hilberts Axiome C4-C6, Kongruenz, Addition und Subtraktion von Winkeln, Ordnung von Winkeln, vertikale Winkel, Umformulierung bzw. Verifikation von Euklids Gesetzen (1.13) und (1.15).
   [Hartshorne: Abschnitt 9 und Aufgaben 9.1, 9.2; Ostermann: S. 34]


7. [Moritz Igel + Alexander Schütz] Hilberts Ebene (Teil I), Herleitung der Euklidischen Gesetze (1.2)-(1.8) aus dem gesamten Hilbertschen Axiomensystem ohne Axiom (P) oder (P'), logische Kritik an Euklids Konstruktion eines gleichseitigen Dreiecks (Gesetz (1.1)), Konstruktion eines gleichschenkligen Dreiecks als Ersatz für Euklids erstes Gesetz und insbesondere strenge Beweise für Euklids Gesetze (1.7) und (1.8)=(SSS) anhand des Hilbertschen Axiomensystems.
   [Hartshorne: Abschnitt 10 und Aufgabe 9.4; Ostermann: S. 29--33; Greenberg: Abschnitt 3]


8. [Moritz Igel + Alexander Schütz] Hilberts Ebene (Teil II), Herleitung der Euklidischen Gesetze (1.9)--(1.16) (ausser den bereits besprochenen (1.13) und (1.15)), (1.18) und der Dreiecks-Ungleichung (1.20) aus dem gesamten Hilbertschen Axiomensystem ohne die Axiome (E), (P) oder (P'), insbesondere die Halbierung eines Winkels (Euklid 1.9), die Halbierung einer Strecke (Euklid 1.10), und die Konstruktion einer Senkrechten auf eine vorgegebene Gerade (Euklids Gesetze 1.11 und 1.12) und damit der Beweis des Kongruenzgesetzes ,,(RASS)''.
   [Hartshorne: Abschnitt 10, Aufgaben 10.1-10.4, 10.6-10.9; Ostermann: S. 33-35; Greenberg: Abschnitt 3]


9. [Susanna Henrich] Durchschnitt von Geraden und Kreisen, Definition eines Kreises, Eindeutigkeit des Mittelpunktes eines Kreises, Tangenten an Kreise, Hilberts Zusatzaxiom (E), Konstruktion eines gleichseitigen Dreiecks (also Gültigkeit von Euklids Gesetz (1.1)) und Herleitung von Euklids Gesetz (1.22) bei Hinzunahme von Axiom (E) zum gesamten Hilbertschen Axiomensystem (ohne Axiom (P) oder (P')).
   [Hartshorne: Abschnitt 11, Aufgaben 11.1--11.3, 11.5; Ostermann: S. 30; Greenberg: Abschnitt 3]


10. [Anke Kittelberger] Euklidische Ebenen, Herleitung der Euklidischen Gesetze (1.21), (1.23)-(1.32) aus dem gesamten Hilbertschen Axiomensystem unter Hinzunahme des Parallelen Axioms (P), insbesondere die Euklidischen Kongruenz-Gesetze (ASA) und (AAS) und die Konstruierbarkeit einer parallelen Geraden zu einer vorgegebenen Geraden (Gesetz (1.31)). Eingehende Diskussion der Beweise von Euklids Gesetz (1.27) ohne Gebrauch des Parallelen-Axioms (P), jedoch von (1.29)-(1.32) nur mittels des Gebrauchs von Axiom (P), Beweis der Übereinstimmung der Schnittpunkte der drei Winkelhalbierenden eines beliebigen Dreiecks und Euklids Kreis-Konstruktion (4.4).
    [Hartshorne: Abschnitte 10-12, Aufgaben 10.5, 11.6; Ostermann: S. 35-38; Greenberg: Abschnitte 3 und 4]


11. [Annemarie Mayer] Die reelle Kartesische Ebene (Teil I), Descartes' Kriterium zur Konstruierbarkeit eines Punktes in der reellen Kartesischen Ebene. Konstruktion von Produkten und Quotienten reeller Zahlen und von Quadratwurzeln mittels Zirkel und Lineal in der reellen Kartesischen Ebene. Konstruktion regulärer n-Ecke im Einheitskreis, für n=5,8,10.
    [Hartshorne: Abschnitt 13; Artin: Abschnitt 13.4; Bosch: Abschnitt 6.4]


12. [Mario Werz] Die reelle Kartesische Ebene (Teil II), Präzise Konstruktion einiger Quadratwurzeln mittels Zirkel und Lineal, Konstruktion des regulären 16- und 15-Ecks. Konstruktion eines regulären Tetraeders in der Einheitssphäre, Untersuchung des Ringes "Z adjungiert Wurzel 2", Konstruktion des regulären Pentagons nach H.Lenstra.
    [Hartshorne: Abschnitt 13, Aufgaben 13.1-13.5, 13.8-13.11, 13.15, 13.21, Artin: Abschnitt 13.4; Bosch: Abschnitt 6.4]