Fachbereich Mathematik
   

Vorlesung über Gewöhnliche Differentialgleichungen (ODE's), SS 14


Im ersten Teil dieser Vorlesung werden wir zunächst die klassichen Techniken von Picard, Lindelöf, Peano und Gronwall zum Beweis der Existenz und Eindeutigkeit einer ,,Kurzzeit-Lösung'' eines Systems von n Differentialgleichungen erster Ordnung erarbeiten, falls dieses durch ein lokal-lipschitzstetiges Vektorfeld F auf einem R^n gegeben ist. Im Anschluss daran werden wir die Abhängigkeit dieser Lösungen von deren Startpositionen X_0 (zu einem festen Zeitpunkt t_0), d.h. die Regularität des von F erzeugten ,,Flusses'' (auf R^n), studieren. Motiviert von der noch recht einfach einzusehenden Stetigkeit dieses Flusses werden wir dessen k-fache stetige Differenzierbarkeit herleiten, falls dieser von einem k-fach stetig differenzierbaren Vektorfeld F erzeugt wird. Schliesslich werden wir lineare Systeme von n Differentialgleichungen und homogene lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung zusammen mit einigen konkreten Beispielen besprechen, insbesondere die Lösungen des Zwei-Körper-Problems, d.h. alle möglichen Planetenbahnen gemäss der 3 Keplerschen Gesetze, herleiten und klassifizieren.

Im zweiten Teil der Vorlesung werden wir die Techniken und Resulate des ersten Teils vom R^n auf Untermannigfaltigkeiten M eines R^m auszudehnen versuchen. Hierfür werden wir zunächst die Begriffe der ,,Untermannigfaltigkeit'', dessen Tangentialbündels und von Tangentialvektorfeldern auf M rekapitulieren. Die Nützlichkeit der sodann gewonnenen Konstruktionsmethode (k-fach) stetig differenzierbarer Flüsse auf M (zu vorgegebenem, k-fach stetig differenzierbarem Tangentialvektorfeld F) auf einer kompakten, geschlossenen Untermannigfaltigkeit M werden wir zum Abschluss der Vorlesung beim Beweis eines zentralen Satzes der Variationsrechnung für Variationsprobleme mit ,,holonomen Nebenbedingungen'' erkennen, und wir werden hierzu wiederum einige Anwendungen aus der Mechanik und der Differentialgeometrie studieren.

Diese (4-stündige) Vorlesung richtet sich an Mathematik-Studenten aus dem 4. bis 8.Fachsemester. An Vorkenntnissen sind die Vorlesungen Analysis I, II und Lineare Algebra I, II erforderlich. Parallel zur Vorlesung veranstaltet der Dozent eine (2-stündige) Übung, deren erfolgreiche Teilnahme notwendige Bedingung zur Abnahme einer Prüfung nach Abschluss der Vorlesung ist. Nach erfolgreicher Prüfung werden 10 ECTS-Punkte vergeben.

Übungsblätter

Blatt 1 Blatt 2 Blatt 3 Blatt 4 Blatt 5 Blatt 6 Blatt 7 Blatt 8 Blatt 9


    Das Skript zur Vorlesung

    Literatur

  1. [Am] Amann, H.: Gewöhnliche Differentialgleichungen,
    2. Auflage, Berlin, de Gruyter, 1995.
  2. [Heu] Heuser, H.: Lehrbuch der Analysis, Teil 2,
    Mathematische Leitfäden, B.G. Teubner, Stuttgart, 1991.
  3. [Hi-a] Hildebrandt, S.: Analysis I,
    Springer-Verlag, 2002.
  4. [Hi-b] Hildebrandt, S.: Analysis II,
    Springer-Verlag, 2002.
  5. [Rei] Reid, W.T.: Ordinary differential equations,
    Wiley, New York, 1971.
  6. [Wal] Walter, Wolfgang .: Gewöhnliche Differentialgleichungen,
    7. Auflage, Springer-Verlag, 2000.


Dozent: PD Dr. Ruben Jakob, C 5 A 32
Termine:
Vorlesung: Di 16-18, Do 14-16 (c.t.), Räume: Di: C9A03, Do: Hörsaal N8, Beginn: erst Do, 10.04.
Übung: Mo, 16-18 Uhr (c.t.), Raum: S9 (C-Bau, 5. Etage), Beginn: Mo, der 14. April
Sprechstunden: Fr, von 14 Uhr 30 bis 18 Uhr, in C 5 A 32