Fachbereich Mathematik
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Vorlesung: Variationsrechnung (Calculus of Variations), WS 11/12


Nach einer kurzen historischen Einführung in die Thematik sollen die notwendigen Hilfsmittel der Funktionalanalysis erarbeitet, insbesondere eine Behandlung der Theorie der Sobolevräume gegeben werden, welche für den Gewinn von kritischen Punkten zahlreicher Variationsprobleme eine fundamentale Rolle spielt.

Anschliessend werden wir im Hinblick auf die Frage nach der Existenz von globalen Minimierern gewisser Variationsintegrale einige Unterhalbstetigkeitsresultate und das Ekelandsche Variationsprinzip beweisen. Daraufhin werden wir die erste äussere Variation sowie die sich aus diesen ergebenden Euler-Lagrange-Gleichungen von Variationsintegralen auf beschränkten Teilgebieten eines beliebigen R^n herleiten.

Anschliessend werden wir Variationsprobleme mit isoperimetrischen und holonomen Zwangsbedingungen betrachten, indem wir deren entsprechende ,,gezwungene Euler-Lagrange-Gleichungen'' herleiten und einige klassische Beispiele aus Geometrie und analytischer Mechanik behandeln werden.

Schliesslich werden wir uns gezielt der Existenztheorie instabiler Extremalen zuwenden, d.h. hinreichende Bedingungen zur Existenz kritischer Punkte von Variations-Funktionalen F angeben, in welchen F kein relatives oder gar globales Minimum annimmt. Hierzu werden wir einige Varianten des Mountain-Pass-Prinzips studieren.

Zum Abschluss werden wir das ,,Yamabe-Problem'' diskutieren. Zur Herleitung von C^{k,alpha}- und W^{2,q}-a-priori-Abschätzungen -- und somit insbesondere zur Herleitung höherer Regularität -- von Minimierern des ,,Yamabe-Funktionals'' innerhalb bestimmter schwach-abgeschlossener L^s-Sphären in W^{1,2}(M) (für ,,subkritische'' s) werden wir desweiteren die L^p- und Schauder-Theorie für lineare elliptische partielle Differentialgleichungen aus der parallel angebotenen Vorlesung von Professor Schätzle über ,,Partielle Differentialgleichungen'' besprechen und anwenden.

Die Vorlesung richtet sich an Studenten vom 5. bis 7. Fachsemester. An Vorkenntnissen sind nur die Vorlesungen Analysis I - IV sowie Lineare Algebra I,II erforderlich. Für eine Zulassung zur anschliessenden Prüfung ist eine erfolgreiche Teilnahme an der begleitenden Übung obligatorisch.

  1. Aubin, T.: A course in Differential Geometry, Graduate Studies in Mathematics, Volume 27, American Mathematical Society.
  2. Dacorogna, B.: Direct methods in the Calculus of Variations, Applied Mathematical Sciences, Volume 78, Springer Verlag, Berlin, 1989.
  3. Giaquinta, M., Hildebrandt, S.: Calculus of Variations I, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Volume 310, 2nd edition, Springer Verlag, Berlin, 2004.
  4. Gilbarg, D., Trudinger, N.S.: Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, 3rd edition, Springer Verlag, Berlin, 1998.
  5. Hildebrandt, S.: Analysis II, Springer Verlag, Berlin, 2003.
  6. Lee, J.M., Parker, T.H.: The Yamabe Problem, Bulletin of the American Mathematical Society, Volume 17, No. 1, 1987.
  7. Struwe, M.: Variational methods, Applications to nonlinear partial differential equations and Hamiltonian Systems, 4th edition, Springer Verlag, Berlin, 2008.

Dozent: PD Dr. Ruben Jakob, C 5 A 32
Vorlesung: Di, Mi jeweils 14-16 Uhr (c.t.) im Raum S06 (5. Stock) im C-Bau.
Übungen: Do 16-18 Uhr (c.t.) im Raum S07
Beginn: 11.Oktober 2011
Ruben Jakob, Universität Tübingen. (e-mail: jakob at mail.mathematik.uni-tuebingen.de)