Fachbereich Mathematik
   

Nichtlineare partielle Differentialgleichungen, SS 15


Diese Vorlesung bildet eine Fortsetzung und Zusammenführung der Vorlesungen ,,Lineare partielle Differentialgleichungen'' und ,,Nichtlineare Funktionalanalysis'' aus dem Wintersemester 14/15. Im Anschluss an die lineare L^2-Theorie werden wir die Schauder- und Calderon-Zygmund-Theorie entwickeln und miteinander kombinieren, um a-priori-Abschätzungen und Existenz für/von starke(n) Lösungen linearer, elliptischer Differentialgleichungen 2. Ordnung in Nicht-Divergenz-Form in Hölder- und Sobolev-Räumen zu erhalten.

Anschliessend werden wir die Harnack-Ungleichung und die schwache Harnack-Ungleichung nach Trudinger's Vorbild für schwache Lösungen linearer, elliptischer Differentialgleichungen 2. Ordnung in Divergenz-Form herleiten, um damit die Hölder-Regularität schwacher Lösungen solcher Gleichungen zu beweisen.

Im zweiten Teil der Vorlesung werden wir diese Resultate nutzen, um quasi-lineare und voll-nichtlineare elliptische Gleichungen zu behandeln.

Diese (4-stündige) Vorlesung richtet sich an Mathematik-Studenten aus dem 6. bis 10. Fachsemester. An Vorkenntnissen sind die Vorlesungen Analysis I, II und III, Lineare Algebra I, II und ,,Lineare partielle Differentialgleichungen'' erforderlich. Parallel zur Vorlesung veranstaltet der Dozent eine (2-stündige) Übung, deren erfolgreiche Teilnahme notwendige Bedingung zur Abnahme einer Prüfung nach Abschluss dieser Vorlesung ist. Nach erfolgreicher Prüfung werden 10 ECTS-Punkte vergeben.

Übungsblätter

Blatt 1 Blatt 2 Blatt 3 Blatt 4 Blatt 5 Blatt 6 Blatt 7 Blatt 8 Blatt 9 Blatt 10 Blatt 11 Blatt 12


    Das Skript zur Vorlesung

    Literatur

  1. [Alt] Alt, H.W.: Lineare Funktionalanalysis,
    Springer Verlag, Berlin, 1999.
  2. [Berg] Berger, M.: Nonlinearity in Functional Analysis,
    Academic Press, New York - San Francisco - London, 1977.
  3. [Eva] Evans, L.C.: Partial Differential Equations,
    2nd edition, Providence, Rhode Island, American Mathematical Society, 2010.
  4. [GT] Gilbarg, D., Trudinger, N.S.: Elliptic Partial Differential Equations of Second Order,
    Springer Verlag, 3.Auflage, Berlin - Heidelberg - New York - Tokyo, 1998.
  5. [Ru] Rudin, W.T.: Functional Analysis,
    McGraw-Hill, New York, 1973.
  6. [Sim97] Simon, L.: Schauder estimates by scaling,
    Calc. Var., Vol. 5, pp. 391-407, 1997.
  7. [T67] Trudinger, N.S.: On Harnack type inequalities and their applications to quasilinear elliptic equations,
    Communications on Pure and Applied Mathematics, Vol. 20, pp. 721-747, 1967.





Dozent: PD Dr. Ruben Jakob, C 5 A 32
Termine:
Vorlesung: Mo, Mi 14-16 (c.t.), im Raum S8. Beginn am Mo, den 13. April.
Übung: Do, 16-18 (c.t.), im Raum S7. Beginn am Do, den 16. April.
Sprechstunden: Fr, von 14 Uhr 15 bis 17 Uhr, in C 5 A 32