Fachbereich Mathematik
   

Einführung in die Nichtlineare Funktionalanalysis, WS 14/15


Im ersten Teil dieser Vorlesung sollen zunächst die Begriffe der Stetigkeit und Differenzierbarkeit nicht-linearer Abbildungen zwischen Banachräumen eingeführt und untersucht werden. In diese Thematik gehören insbesondere der Satz über implizite Funktionen und der Umkehrsatz für Abbildungen zwischen Banachräumen. Anschliessend wird die Theorie linearer und nicht-linearer Fredholm-Abbildungen kurz besprochen und deren Kombinierbarkeit mit dem Satz von Lax-Milgram und dem Maximumprinzip der L^2-Theorie vorgestellt, um zunächst die eindeutige ,,schwache'' Lösbarkeit einer weiten Klasse linearer elliptischer Differentialgleichungen zweiter Ordnung im ,,grossen'' Sobolev-Raum W^{1,2}_0 herzuleiten.

Im zweiten Teil der Vorlesung werden wir zunächst die Kontinuitätsmethode einführen und anschliessend mit a-priori-Abschätzungen aus der Schauder- und L^p-Theorie kombinieren, um die eindeutige, klassische/starke Lösbarkeit einer weiten Klasse linearer elliptischer Randwertprobleme zweiter Ordnung in Hölder- und Sobolev-Räumen herzuleiten. Abschliessend werden wir Fixpunktsätze für stetige, jedoch nicht-lineare Selbst-Abbildungen eines Banachraums beweisen, um mit diesen die Existenz klassischer Lösungen quasi-linearer elliptischer Randwertprobleme zweiter Ordnung in Hölder-Räumen, zumindest unter gewissen Zusatz-Voraussetzungen, nachzuweisen.

Diese Vorlesung ist inhaltlich eng mit einigen Theorien der linearen partiellen Differentialgleichungen verknüpft, über die Herr Professor Dr. R. Schätzle parallel (d.h. im WS 2014/15) eine 4-stündige Vorlesung anbieten wird.

Diese (2-stündige) Vorlesung richtet sich an Mathematik-Studenten aus dem 5. bis 10. Fachsemester. An Vorkenntnissen sind die Vorlesungen Analysis I, II und III und Lineare Algebra I, II erforderlich und Kentnisse über lineare Funktionalanalysis durchaus empfehlenswert. Parallel zur Vorlesung veranstaltet der Dozent eine (2-stündige) Übung, deren erfolgreiche Teilnahme notwendige Bedingung zur Abnahme einer Prüfung nach Abschluss dieser Vorlesung ist. Nach erfolgreicher Prüfung werden 7 ECTS-Punkte für Studenten im Bachelor-Master-Studiengang und 6 ECTS-Punkte im Lehramts-Studiengang vergeben.

Übungsblätter

Blatt 1 Blatt 2 Blatt 3 Blatt 4 Blatt 5 Blatt 6 Blatt 7 Blatt 8 Blatt 9 Blatt 10 Blatt 11 Blatt 12 Blatt 13


    Das Skript zur Vorlesung

    Literatur

  1. [Alt] Alt, H.W.: Lineare Funktionalanalysis,
    Springer Verlag, Berlin, 1999.
  2. [Berg] Berger, M.: Nonlinearity in Functional Analysis,
    Academic Press, New York - San Francisco - London, 1977.
  3. [Deim] Deimling, K.: Nonlinear Functional Analysis,
    Springer Verlag, Berlin, 1980.
  4. [Ni] Nirenberg, L., Topics in Functional Analysis,
    New York University, 1973.
  5. [Ru] Rudin W.T.: Functional Analysis,
    McGraw-Hill, New York, 1973.
  6. [Zeid] Zeidler, E.: Nonlinear Functional Analysis and its Applications I, Fixed-Point Theorems,
    Springer Verlag, Berlin, 1985.





Dozent: PD Dr. Ruben Jakob, C 5 A 32
Termine:
Vorlesung: Mo, 10-12 (c.t.) im Raum N15. Beginn am 13.10. im Raum N15.
Übung: Di, 16-18 (c.t.) im Raum S7. Beginn am 21.10. im Raum S7.
Sprechstunden: Fr, von 14 Uhr 15 bis 17 Uhr, in C 5 A 32