Im ersten Teil dieser Vorlesung sollen zunächst die Begriffe
der Stetigkeit und Differenzierbarkeit nicht-linearer Abbildungen zwischen Banachräumen eingeführt und untersucht werden.
In diese Thematik gehören insbesondere der Satz
über implizite Funktionen und der Umkehrsatz für Abbildungen zwischen Banachräumen. Anschliessend wird die Theorie linearer und nicht-linearer
Fredholm-Abbildungen kurz besprochen und deren Kombinierbarkeit mit
dem Satz von Lax-Milgram und dem Maximumprinzip der L^2-Theorie vorgestellt,
um zunächst die eindeutige ,,schwache'' Lösbarkeit einer
weiten Klasse linearer elliptischer Differentialgleichungen zweiter Ordnung
im ,,grossen'' Sobolev-Raum W^{1,2}_0 herzuleiten.
Im zweiten Teil der Vorlesung werden wir zunächst die Kontinuitätsmethode einführen und anschliessend mit a-priori-Abschätzungen aus der
Schauder- und L^p-Theorie kombinieren, um die eindeutige, klassische/starke
Lösbarkeit einer weiten Klasse linearer elliptischer Randwertprobleme zweiter Ordnung in Hölder- und Sobolev-Räumen herzuleiten.
Abschliessend werden wir Fixpunktsätze für stetige, jedoch
nicht-lineare Selbst-Abbildungen eines Banachraums beweisen, um mit diesen
die Existenz klassischer Lösungen quasi-linearer elliptischer Randwertprobleme zweiter Ordnung in Hölder-Räumen, zumindest unter gewissen Zusatz-Voraussetzungen, nachzuweisen.
Diese Vorlesung ist inhaltlich eng mit einigen Theorien der
linearen partiellen Differentialgleichungen verknüpft, über die
Herr Professor Dr. R. Schätzle parallel (d.h. im WS 2014/15)
eine 4-stündige Vorlesung anbieten wird.
Diese (2-stündige) Vorlesung richtet sich an Mathematik-Studenten
aus dem 5. bis 10. Fachsemester. An Vorkenntnissen sind die Vorlesungen
Analysis I, II und III und Lineare Algebra I, II erforderlich und
Kentnisse über lineare Funktionalanalysis durchaus empfehlenswert.
Parallel zur Vorlesung veranstaltet der Dozent eine (2-stündige)
Übung, deren erfolgreiche Teilnahme notwendige Bedingung zur
Abnahme einer Prüfung nach Abschluss dieser Vorlesung ist.
Nach erfolgreicher Prüfung werden 7 ECTS-Punkte für
Studenten im Bachelor-Master-Studiengang und 6 ECTS-Punkte im
Lehramts-Studiengang vergeben.